SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
Todo sistema tiene una matriz asociada, así
por ejemplo: 2x-3y+z=5
x+4y+2z=0
2x+z=9
Para este sistema
Su matriz asociada es
Sin la última columna es la matriz de coeficientes
2
-3
1
5
1
4
2
0
2
0
1
9
2
-3
1
1
4
2
2
0
1
A una fila se le puede sumar o restar otra fila multiplicada por un número distinto de cero, se indicara "A Fila tal + Nº · Fila cual "
Se procede comenzando por la primera columna, si todos sus términos son cero se pasa a la siguiente columna. Si algún término es distinto de cero, se permutarán filas si fuera necesario para que el primer término sea no nulo y con este se harán ceros en el resto de elementos de la columna. Se repite el proceso con la matriz que resula de olvidar la primera fila y la primera columna.
A continuación se muestran algunas matrices en las que ya está realizado el método de Gaus:
Obsérvese que hay que conseguir en cada columna un término distinto de cero arriba y debajo todos ceros, entonces se da un escalón y se procede igual con la siguiente columna, el primer término de lo que queda después de dar el escalón debe ser distinto de cero, y los de debajo cero. Si en alguna columna todos los términos fueran cero, no se da escalón, se pasa a la siguiente en la misma altura.
El rango de la matriz es el número de filas no nulas una vez que se ha completado la transformación de Gauss
TEOREMA DE ROUCHÉ FROBENIUS: Un sistema tiene solución solamente cuando (sii) el rango de la matriz total y de la de coeficientes coinciden y en ese caso el grado de indeterminación de la solución es igual al número de incógnitas menos el rango