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Actividad programada por los departamentos de matemáticas y Filosofía
PASCAL FILÓSOFO Y
MATEMÁTICO
Blaise Pascal
Clermont-Ferrand, 19 de junio 1623 - París, 19 de agosto de 1662) fue un
matemático, físico, filósofo cristiano y escritor francés. Sus contribuciones
a las matemáticas incluyen aportes a la Teoría de la probabilidad.
Después de una experiencia religiosa profunda en 1654, Pascal abandonó las
matemáticas y la física para dedicarse a la filosofía y a la teología.
PASCAL FILÓSOFO
La apuesta de Pascal es un
argumento creado por Blaise Pascal en una discusión sobre la creencia en la
existencia de Dios, basado en el supuesto de que la existencia de Dios es una
cuestión de azar. El argumento plantea que, aunque no se conoce de modo seguro
si Dios existe, lo racional es apostar que sí existe. "La razón es que, aún
cuando la probabilidad de la existencia de Dios fuera extremadamente pequeña,
tal pequeñez sería compensada por la gran ganancia que se obtendría, o sea, la
gloria eterna."
La apuesta de Pascal fue expresada
por el propio filósofo de la siguiente manera:
Usted tiene dos cosas que perder: la verdad y el bien, y dos cosas que
comprometer: su razón y su voluntad, su conocimiento y su bienaventuranza; y
su naturaleza posee dos cosas de las que debe huir: el error y la miseria. Su
razón no resulta más perjudicada al elegir la una o la otra, puesto que es
necesario elegir. Ésta es una cuestión vacía. Pero ¿su bienaventuranza? Vamos
a sopesar la ganancia y la pérdida al eligir cruz (de cara o cruz) acerca del
hecho de que Dios existe. Tomemos en consideración estos dos casos: si gana,
lo gana todo; si pierde, no pierde nada. Apueste a que existe sin dudar.
Blaise Pascal (1670). Pensamientos.
III, §233
PASCAL MATEMÁTICO
EL TRIÁNGULO DE PASCAL
Una de las pautas de
números más interesantes el es triángulo de Pascal que se muestra a
continuación:
Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo
formando un triángulo.
Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los
extremos, que son siempre "1".
(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)
El triángulo de
Pascal tiene muchas propiedades y simetrías, si tienes curiosidad puedes
observar algunas aquí
Puedes mover los cursores de este applet y verás como con el triángulo de
Pascal se forman diversas figuras geométricas (triángulo de Sierpinski):
USO EL TRIÁNGULO DE PASCAL
El triángulo de Pascal tine gran
utilidad en la teoría de las probabilidades, como introducción presentamos una escena de la película Match Point de Woody Allen:
Descarga el video
Caras y cruces
El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de
pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de
cualquier combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres
caras (HHH), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (HHT, HTH,
THH), también tres de sacar una cara y dos cruces (HTT, THT, HTT) y sólo una
de sacar tres cruces (TTT). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de
Pascal.
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan
exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%
Estas
probabilidades se representan también con el Quincunce, un tablero como el del
siguiente vídeo:
Descarga el video
El video muestra
como se distribuyen las bolas al caer.
Un quincunce o
"tablero de Galton" (llamado así en honor de Sir Francis Galton) es una
distribución triangular de clavos. Se dejan caer bolas sobre el clavo de
arriba y van rebotando hasta abajo, donde caen en pequeños contenedores.
Cada vez que una bola cae sobre un clavo, rebota a la izquierda o a la
derecha.
Pero esto es lo
interesante: si siempre hay la misma probabilidad de ir a derecha o izquierda,
(como en el caso de cara o cruz), las bolas que caen en los contenedores forman la famosa curva "de campana" de
la distribución normal.
La siguiente escena
muestra esto mismo. Cada vez que se pulsa el botón inicio comienzan a caer las
bolas de la cubeta roja.
Fuentes:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html y
http://es.wikipedia.org/wiki/Apuesta_de_Pascal
ACTIVIDADES
1.- Construye 5
filas del triángulo de Pascal
2.- ¿Es más
probable sacar exactamente dos caras cuando se tiran tres monedas o cuando se
tiran cuatro monedas?
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