Gracias por esa mención, oooooh, ni más ni menos que en más de uno.
Lo prometido es deuda, generalización
Pero primero una observación que apunta el problema y
que no puede quedar en el cajón debido a que hoy es el aniversario de Alan Turing, precursor de los
ordenadores, estas sucesivas divisiones por potencias de un número,
es lo mismo que las sucesivas divisiones entre el número
Si en lugar de fijarnos en los cocientes como en el problema propuesto hoy por
José Ángel Murcia, nos fijamos en los restos, resulta 1200 que es la expresión
de 175 en base 5.
Si hacemos las sucesivas divisiones por 2
Tenemos el número 175 escrito con unos y ceros, es decir, en base 2 o sistema
binario, lenguaje que entienden los ordenadores, Si-No, Blanco-negro, encendido-apagado.
Pues 175 en este lenguaje es 10101111, los restos de las sucesivas divisiones
escritos de último a
primero.
Hoy más de uno fue muy matemático, en HistoriaD nos explicaron el sesgo
de supervivencia
La generalización
¿Cuál será el número de ceros finales de N! escrito en otra base b ?
Si b es primo se hacen las sucesivas divisiones de N entre las potencias de b.
La suma de esos cocientes es el número de ceros finales de N.
Por ejemplo los ceros finales de 175! cuando lo expresemos en base dos en base 2,
será la suma de los cocientes en las sucesivas
divisiones de 175 entre potencias de 2 .
87 + 43 + 21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 169
Cuando b es potencia de un primo, por ejemplo si b es 81=34,
dividiremos entre las potencias de 3
y luego este resultado entre 4 que es el exponente de
dicha potencia,
pues cada dos treses en la descomposión de 175! darán un 9.
Cuando b descompone en potencias de varios primos, por ejemplo si b es 34·72,
así pues dividiremos entre las potencias de 3
y luego este resultado entre 4 que es el exponente de
dicha potencia, sea este el valor1
dividiremos entre las potencias de 7
y luego este resultado entre 2 que es el exponente de
dicha potencia. sea este el valor2
el mínimos de estos dos valores es el número de ceros.
Ejemplos
175! en base 63 = 32·7 tiene 28 ceros los mismos que en base 7 (en base 32, 42 ceros.)
175! en base 38·72 tiene 10 ceros los mismos que en base 38 (en base 72, 14 ceros.)
La utilidad
Pues si queremos probar cuanto de buena es una calculadora podemos mandarle
calcular 100! y contar si el número de ceros finales que da es el correcto.
Curiosidad
Para que la cantidad de ceros finales de un número N
aumente en una unidad bastará multiplicar N por 10
Para que la cantidad de ceros finales de N! aumente en
una unidad bastará con sumar 5 a N o ni eso, sumar 5 menos el resto de N entre 5, es decir 5-N%5 .
Problema a la inversa
La curiosidad da pie para proponer un problema, ¿qué
factoriales tendrán un determinado número de ceros finales?
Calcular x para que x! tenga n ceros al final. ¿Se puede?
¿Tiene siempre solución para cualquier numero de ceros n? Pues no ya que si 24!
tiene t ceros, 25! tendrá dos ceros más, t+2, de modo que no habrá ningún x
cuyo factorial tenga justo t+1 ceros. ¿Cuales son los n para los que hay
solución?1 Cuando hay solución ¿cómo se calcula? Vamos que el problema
daría para una tesis y toda una teoría de ecuaciones, mismamente se puede
proponer el ejercio de plantear el problema matemáticamente,
Resolver
x! mod 10n = 0
x! mod 10n+1 ≠ 0
O resolver
x!=m·10n siendo m un nº natural
pero m/10 no
No es cuestión de enloquecer pero sí de mostrar que las matemáticas no están
cerradas o encorsetadas y son opuestas a gimnasias aburridas o metódicas,
siempre tienen ritmo, precisión, creatividad y libertad.
El problema otorga de nuevo las 5 estrellas al
reto matemático de
onda cero. Excelente.
Primer teorema del reto
El recuento de ceros finales en un factorial da hasta para teoremillas caseros: si observamos las divisiones sucesivas de N entre un número b
y luego el cociente entre b, hasta acabar, el teorema afirma que N menos la suma de los restos es igual a multiplicar b-1 por
la suma de los cocientes,
por ejemplo en las divisiones de 175 entre 5, el teorema afirma que
175 - (1+2+0+0) = 4 · (1+7+35)
En las divisiones de 175 entre 10, el teorema afirma que
175 - (1+7+5) = 9 · (17+1)
Un programa para calcular los ceros finales de D! cuando la base es cn, siendo c primo
function ceros($D, $c, $n) {
$S=0;
while ($D>($c-1)){$D=(int)($D/$c); $S=$S+$D;}
return (int)($S/$n);
}
$D=175; $c=5;
$ceros= ceros($D, $c, $n);
echo"$ceros";