Un juego
Dejamos una escena de descartes a
modo de juego que tiene mucho que ver con la extensión a base dos de este
problema.
Extensión
2
Y si las páginas del libro estuvieran en base dos
¿Cuántos ceros veríamos en la numeración? Esto lo hace calculadora anterior
cuando la base es 2 y la cifra 0, vamos a explicarlo de otra manera,
contando a las bravas.
Solución
En las unidades hay un cero si el número es par,
así que en las unidades hay 280 / 2 = 140 ceros
En las unidades 140 ceros
En las decenas tienen un cero las páginas
4, 5,
8, 9,
12, 13,
16, 17. etc
280 / 4 x 2 -1 (se resta 1 porque 281 no está, 280/4 son los múltiplos de
4 y cada uno con su siguiente luego cada uno por dos
En las decenas 139 ceros
En las centenas tienen un cero las págimas
8, 9, 10, 11
16, 17, 18, 19
24, 25, 26, 27
32, 33, 34, 35 etc
280 / 8 x 4 -3 (se resta 3 porque 281, 282, 283 no están,
280/8 son los múltiplos de 8 y cada uno con sus tres siguientes luego cada
uno por cuatro
En las centenas 137 ceros
En los millares tienen un cero las págimas
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39
48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55,
64, 65, 66, 67, 68, 69, 70. 71 etc
280 / 16 da 17 de cociente y de resto 8, por tanto 17 · 8
=136
En los millares 136 ceros
En las decenas de millar 280 entre 32 da de
cociente 8 y de resto 24, 8 · 16 = 128
En las decenas de millar 128
En las centenas de millar 280 entre 64 da de
cociente 4 y de resto 24, 3· 32 + 25 = 121
En las centenas de millar 121
En la séptima cifra (contando desde la derecha)
280 entre 128 da de cociente 2 y de resto 24, 1· 64 + 25 = 89
En la séptima cifra 89
En la octava cifra 280 entre 256 da de cociente 1
y de resto 24, 25 ceros todos los números desde 256 a 280 ambos
incluidos al escribirlos en base 2 tienen un cero en la octava cibra
En la octava cifra 25
EN TOTAL 915 CEROS
Veamos que en base 2 es mucho más
fácil contar los 1 pues estos son siempre cifras significativas, sin embargo
los ceros a la izquierda no existen.
Así de la página 1 a la 255 en
base 2 (poniendo ceros a la izquierda lo cual no influye para contar
los 1) son todas las maneras de poner 8 cifras con ceros y unos, así que en
total desde el 00000000 al 11111111 salen 28 números. En
cada cifra salen la mitad de unos, así que habrá 27 unos en las
unidades, lo mismo en las decenas, etc.
Así hay 27·8 unos es
decir, 1024 unos. Queda contar cuantos unos aparecen del 256 al
280 en base dos, ambos números incluidos
256 en base 2 es 100 00 00 00
280 en base 2 es 100 01 10 00
De uno a otro ha 25 unos en la primera
cifra de la izquierda que es 1 en todos y tantos unos
como de 0 00 00 a 1 10 00 y estos son los mismos que
de 0000 a 1111 y de 10000
a 11000
de 0000
a 1111 hay 23 · 4 =32 unos
de 10000
a 11000 hay 9 números (1001 en base 2) los 9 tienen un uno en la
cifra de las decenas de millar; hay 8 (todos menos el último que
tienen un cero en la cifra de millar) luego un uno en la cifra de los
millares y 22 · 3 = 12 unos en las otras cifras
En total sales 9 + 1 + 12 = 22
25 + 32 +
22 = 79
y si sumamos los 1024 que hay
hasta 255 con estos 79 de 256 a 280
EN TOTAL 1103 UNOS
Buen problema para acabar la
temporada, aunque en la extensión 2 he sido un poco bastante pesada contando cifras a las bravas.
Sin embargo nos gusta
despedirnos con las sucesivas divisiones por potencias de dos, de nuevo,
similar al reto del 23 de junio.
Muy buen problema, para proponer
por niveles, o sea, diversificación, contar cifras, se puede pedir contar
las veces que aparece el 7 en las unidades, nivel 1; las veces que aparece
en las decenas, nivel 2; las veces que aparece el 0 las unidades si el
número está en base 2, etc, luego en cualquier base.
Encantada con estos retos, Joseángel disfruta las vacaciones, esperamos nuevos
retos a la vuelta, después del descanso seguro que nos asombrarán.
Gracias