RETO
MATEMÁTICO ONDA CERO
Sobres y postales
Escuchemos el audio de onda cero 20 de Julio de 2020, en más de uno, con
Begoña Gómez de la Fuente, el reto matemático de José Ángel Murcia
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¿De cuántas maneras se pueden meter cuatro
cartas en cuatros sobres? Y, ¿De cuántas maneras se puede hacer de forma
correcta? Tenemos cuatros sobres con nombres y direcciones y cuatro postales
escritas también con nombres.
Solución:
Pongo los sobres y las cartas en fila. En el orden que sea. La primera carta
puede ir en cualquiera de los 4 sobres, hay, por tanto 4 maneras de
ensobrarla (aunque solo una sea correcta).
Una vez metida en el sobre quedan 3 cartas y 3 sobres, hay por tanto 3
maneras de colocarla, puede que ninguna sea la correcta, tres maneras para
cada una de las cuatro que teníamos antes, esto hace 12 formas de poner
estas dos cartas.
Para la tercera ya solo quedan dos opciones, una vez que se ha cerrado, la
cuarta va al último sobre que esté vacío, por tanto solo hay una manera de
colocarla.
Por tanto tenemos dos maneras para cada una de las 12 que teníamos antes, lo
que nos da un total de 24 maneras de guardar cuatro cartas en cuatro sobres.
Y solo una es correcta. Por
lo que la probabilidad de que cada carta llegue a su destinatario es 1/24 un
4,2%. Un desastre.
Generalización
Supongamos que los sobres son para Ana, Berta, Carlos y
David, se que para Ana hay 3 hojas , para Berta dos, para Carlos 4 y para
David 1. Estoy en una habitación a oscuras y me van dando los sobres diciendo el nombre del destinatario ¿Cuántas posibilidades distintas hay de enviarlas? ¿Cuál es la
probabilidad de enviarlas correctamente?
Solución
En el primer sobre meteremos tres postales, en el segundo 2
en el tercero 4 y en el cuarto 1
Para meter la primera carta en el primer sobre tengo 10
postales, para meter la segunda tengo 9, para la tercera 8, para la primera
del segundo sobre 7... En total salen 10! posibilidades, de las cuales son
correctas en el sobre de Ana
1 2 3
1 3 2 2 1 3
2 3 1 3 1 2
3 2 1
6 en total
En el sobre de Berta hay dos posibles casos correctos
En el de Carlos, 24
En el de David 1,
Así que la probabilidad de meter las postales de forma
correcta (sabiendo de los sobres) es
(6 · 2 · 24 · 1)/ 10! = 1 / (10 · 9 · 4 · 7 · 5) = 1
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