RETO
MATEMÁTICO ONDA CERO
Un número de 3 cifras repetido, se divide entre 7, 11 y 13 y da el número
Escuchemos el audio de onda cero 15 de Juino de 2020, en más de uno, con
Carlos Alsina, el reto matemático de Joseángel Murcia
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Generalización
Cuando se escribe un número de 4 cifras y se repite este no es divisible entre
11, por el criterio de divisibilidad por 11 para que un número repetido de
exacto entre 11, el número de cifras ha de ser impar.
El reto se explica porque si tomamos un número N de tres cifras y se repite, el
número es N·1000+N, es decir, N·1001, y 1001 = 11 · 91 = 11 · 7 · 13
La generalización es simple pero matizando,
Si el número tiene 5 cifras, al repetirlo tenemos N · (100000+1) y
(100000+1) = (9090+1)·11
Así
Si un número tiene 5 cifras y se repite y se divide entre 11 y luego
entre 9091 da el número inicial
Si un número tiene 7 cifras y se repite y se divide entre 11 y luego
entre 909091 da el número inicial
Si un número tiene 9 cifras y se repite y se divide entre 11 y luego
entre 90909091 da el número inicial, etc
Esto se debe a que
9090+1)·(11)=10^5+1
(909090+1)·(11)=10^7+1
(90909090+1)·(11)=10^9+1
...
Y en cualquier base
(2020_3 + 1) 11_3 = 3^5 + 1
(202020_3 + 1) 11_3 = 3^7 + 1
(20202020_3 + 1) 11_3 = 3^9 + 1
Incluso en base x
EJEMPLOS
124124 entre 11 y entre 91 da 124
5649156491 entre 11 y entre 9091 da 56491
23754172375417 entre 11 y entre 909091 da 2375417
