RETO
MATEMÁTICO ONDA CERO
Calcetines rojos
Escuchemos el audio de onda cero 21 de Julio de 2020, en más de uno, con
Carlos Alsina, el reto matemático de Joseángel Murcia
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Tenemos 16 calcetines blancos, 12 negros, 18 rojos
¿Cuál es el número mínimo de calcetines que tengo que sacar sin mirar para saber que voy a tener un par de calcetines del mismo color?
Y, la segunda: ¿cuántos calcetines tendría que sacar del cajón a oscuras, sin mirar, para estar seguro de tener un par rojo?
Solución
Para tener un par del mismo color bastaría con sacar 4 calcetines, porque si se sacan 3, puede que sea uno de cada color, el cuarto ya repetiría.
Para estar seguro de que salga un par rojo, habrá que sacar 30 calcetines, porque a puede pasar que salgan todos los blancos (16) y todos los negros (12) que suman 28,
si se sacan 30 ya habrá al menos dos rojos.
Saquemos más jugo
al problema.
Estoy dispuesto a ir uno de cada dos días sin dos
calcetines rojos, es decir, me da igual que el 50% de los días me vean
sin dos calcetines rojos, porque otro 50% de los días me verán elegantemente
vestido con mis dos calcetines rojos. La pregunta es ¿cuántos calcetines
debo sacar para ir con mis dos calcetines rojos el 50% de los días.
Solución
Si saco x calcetines quiero que la probabilidad de que no
haya dos rojos sea menor que 1/2, así habrá dos rojos más del 50% de las
veces.
Esta probabilidad es igual a
Casos de no sacar ni un calcetín rojo=
Variaciones de 28 no rojos tomados de x en x :
28 · 27 ·... · ( 28 - x + 1 )
Más casos de sacar exactamente un calcetín rojo =
Variaciones de 28 no rojos tomados de x-1 en x-1 por 18 y por x
pues cada posibilidad de x-1 no rojos va con un rojo que se puede colocar en x posicione:
28 · 27 ·... · ( 28 - x + 2 ) · 18 · x
La suma de estos casos da
28 · 27 ·... · ( 28 - x + 2 ) · [( 28 - x + 1 ) +
18 · x ]
es decir,
28 · 27 ·... · ( 28 - x + 2 ) · [28+18x - x + 1 ]
Y al dividirlo entre los casos posibes, la
variaciones de 46 calcetines tomados de x en x:
46 · 45 · ... · [46 - x + 1 ]
resulta que
la probabilidad de no sacar dos rojos es
\frac{V_{28,x-1}}{V_{46, x-1}}\cdot \frac{28+18x - (x - 1)}{ 46 - (x - 1) }
Si x=2 esa probabilidad es
28 / 46 · 63 / 45 = 0,85217...
Si x=3 esa probabilidad es
28 · 27 / (46 · 45) · 80 / 44 = 0.6640...
Si x=4 esa probabilidad es
28 · 27 · 26 / (46 · 45 · 44) · 97 / 43 = 0.4868...
menor del 50% que es lo que buscábamos
Luego tendré que sacar cuatro calcetines
para que el 50% de los días vaya bien elegante con dos calcetines rojos.
Muy interesante el problema de los
calcetines, vale la pena seguir este programa.
En esta calculadora se simulan x extracciones
de y calcetines, una extracción cada día.
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