RETO
MATEMÁTICO ONDA CERO
Dados, dos jugadores, el número más alto gana
Escuchemos el audio de onda cero 13 de Julio de 2020, en más de uno, con
Carlos Alsina, el reto matemático de José Ángel Murcia
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Joseángel tira un dado y Carlos otro, José Ángel tira primero, el que saca el
número más alto gana. ¿Tiene más probabilidad de ganar el primer tirador?
Solución
Los dos tienen la misma probabilidad,
Saquemos más jugo
al problema.
Está clato que aunque los dados fueran de 15 caras, los dos
tiradores tendrían la misma probabilidad de ganar. ¿Cuál?
Hoy José Ángel propone una buena generalización, nos da el trabajo hecho. La probabilidad de ganar para cada uno
cuando los dados tienen n caras, esta probabilidad es de
1 +2 +3 + ... + (n-1) = n · (n - 1) / 2
entre el total de cuadros n2
Que simplificando entre n da
(n - 1) / (2· n)
Si el dado hubiera tenido 2 caras, la probabilidad de ganar sería de 1/4 = 0,25
Si el dado hubiera tenido 3 caras, la probabilidad de ganar sería de 1/3 = 0,333...
Si el dado hubiera tenido 4 caras, la probabilidad de ganar sería de 3/8 = 0,375
...
Si el dado hubiera tenido 50 caras, la probabilidad de ganar sería de 49/100 = 0,49
Si el dado hubiera tenido 500 caras, la probabilidad de ganar sería de 499/1000 = 0,499
Si el dado hubiera tenido 5000 caras, la probabilidad de ganar sería de 4999/10000 = 0,4999
Pero si José Ángel tiene un
dado de n caras y el de Carlos, n+h caras, Carlos tiene más
probabilidad de ganar.
Azul casos en los que gana Joseángel y naranja cuando gana Carlos.
¿Cuánta probabilidad más?
h · n / n · ( n + h ) = h / ( n + h)
La pregunta es cuál ha de ser el valor h para que la
probabilidad de que gane Carlos sea el doble de la de José Ángel.
Solución
Carlos tiene las posibilidades de José Ángel más h
/ ( n + h) , así que h / ( n + h) ha de ser igual a las
probabilidades de José Ángel: que son los cuadros azules
1 +2 +3 + ... + (n-1) = n · (n - 1) / 2
entre el total de cuadros n · ( n + h )
Por tanto
h / ( n + h) = (n - 1) / 2 /( n + h )
Es decir,
h = (n - 1) / 2
Primera condición
n ha de ser impar
Segunda condición
h = (n - 1) / 2
Por ejemplo, si el dado de Joseángel tiene 2001 caras y el de Carlos 3001,
La probabilidad de que gane Joseángel es 1000/3001 = 0,3332...
La probabilidad de que gane Carlos es 2000/3001 = 0,6664...
Un nuevo problema
Antes de lanzar cada uno su dado, Joseángel dice si él va a sacar un punto más que Carlos o dos menos o si los dos iguales etc, si acierta gana,
¿Qué debe decir Joseángel para tener más probabilidad de acierto?
Debe decir que los dos van a sacar el mismo número, que son n casos de n2.
Los casos en los que por ejemplo Joseángel saca 2 puntos más que Carlos son n-2 y por tanto la probabilidad de acierto menor, n-2 entre n2.
Proponemos un juego que hace que
nos fijemos en la diagonal secundaria del primer cuadrado. Casos en los que la suma de los dados es n+1.
La probabilidad de que al tirar dos dados de n caras, la suma sea mayor que n+1, es igual que la de que sea menor:
(n - 1) / (2· n)